升压拓扑结构在功率电子领域非常重要，但是电感值的选择并不总是像通常假设的那样简单。在dc - dc升压转换器中，所选电感值会影响输入电流纹波、输出电容大小和瞬态响应。选择正确的电感值有助于优化转换器尺寸与成本，并确保在所需的导通模式下工作。本文讲述的是在一定范围的输入电压下，计算电感值以维持所需纹波电流和所选导通模式的方法，并介绍了一种用于计算输入电压上限和下限模式边界的数学方法，还探讨了如何使用安森美半导体的WebDesigner™在线设计工具来加速这些设计步骤。

导通模式

 升压转换器的导通模式由相对于直流输入电流（I_IN）的电感纹波电流峰峰值（ΔI_L）的大小决定。这个比率可定义为电感纹波系数（K_RF）。电感越高，纹波电流和K_RF就越低。

   (1) ， 其中    (2)

 在连续导通模式（CCM）中，正常开关周期内，瞬时电感电流不会达到零（图1）。因此，当ΔI_L小于I_IN的2倍或K_RF <2时，CCM维持不变。MOSFET或二极管必须以CCM导通。这种模式通常适用于中等功率和高功率转换器，以最大限度地降低元件中电流的峰值和均方根值。当K_RF > 2且每个开关周期内都允许电感电流衰减到零时，会出现非连续导通模式（DCM）（图2）。直到下一个开关周期开始前，电感电流保持为零，二极管和MOSFET都不导通。这一非导通时间即称为t_idle。DCM可提供更低的电感值，并避免输出二极管反向恢复损耗。

 当K_RF = 2时，转换器被认为处于临界导通模式（CrCM）或边界导通模式（BCM）。在这种模式下，电感电流在周期结束时达到零，正如MOSFET会在下一周期开始时导通。对于需要一定范围输入电压（V_IN）的应用，固定频率转换器通常在设计上能够在最大负载的情况下在指定V_IN范围内，以所需要的单一导通模式（CCM或DCM）工作。随着负载减少，CCM转换器最终将进入DCM工作。在给定V_IN下，使导通模式发生变化的负载就是临界负载（I_CRIT）。在给定V_IN下，引发CrCM / BCM的电感值被称为临界电感（L_CRIT），通常发生于最大负载的情况下。

 纹波电流与V_IN

 众所周知，当输入电压为输出电压（V_OUT）的一半时，即占空比（D）为50％时（图3），在连续导通模式下以固定输出电压工作的DC－DC升压转换器的电感纹波电流最大值就会出现。这可以通过数学方式来表示，即设置纹波电流相对于D的导数（切线的斜率）等于零，并对D求解。简单起见，假定转换器能效为100％。

 根据   (3)、  (4) 和   (5),

 并通过CCM或CrCM的电感伏秒平衡  (6),

 则   (7).

 将导数设置为零,     (8)

我们就能得出   (9). 

图3 – CCM中的电感纹波电流

 CCM工作

 为了选择CCM升压转换器的电感值（L），需要选择最高K_RF值，确保整个输入电压范围内都能够以CCM工作，并避免峰值电流受MOSFET、二极管和输出电容影响。 然后计算得出最小电感值。K_RF 最高值通常选在0.3和0.6之间，但对于CCM可以高达2.0。 如前所述，当D = 0.5时，出现纹波电流ΔI_L最大值。那么，多少占空比的情况下会出现K_RF最大值呢？ 我们可以通过派生方法来求得。

 假设η = 100%， 则   (10), 

 然后将(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ，得出:

   (11)                         

   (12). 

 对D求解，可得  (13).

 D = 1这一伪解可被忽略，因为它在稳态下实际上是不可能出现的（对于升压转换器，占空比必须小于1.0）。因此，当D =⅓或V_IN = ⅔V_OUT时的纹波因数K_RF最高，如图4所示。使用同样的方法还能得出在同一点的最大值L_MIN、L_CRIT和I_CRIT。

图4 – 当D =⅓时CCM纹波系数K_RF最高值

 对于CCM工作，最小电感值（L_MIN）应在最接近⅔ V_OUT的实际工作输入电压（V_IN(CCM)）下进行计算。根据应用的具体输入电压范围，V_IN(CCM)可能出现在最小V_IN、最大V_IN、或其间的某个位置。解方程（5）求L，并根据V_IN(CCM)下的K_RF重新计算，可得出        

  (14)，其中V_IN(CCM)为最接近⅔V_OUT的实际工作V_IN。     

 对于临界电感与V_IN 和I_OUT的变化，K_RF = 2，可得出

   (15).

 在给定V_IN 和L 值的条件下，当K_RF = 2时，即出现临界负载（I_CRIT）：

   (16)

 DCM工作

 如图5所示，在一定工作V_IN和输出电流（I_OUT）下的电感值小于L_CRIT时，DCM模式工作保持不变。对于DCM转换器，可选择最短的空闲时间以确保整个输入电压范围内均为DCM工作。t_idle最小值通常为开关周期的3％-5％，但可能会更长，代价是器件峰值电流升高。然后采用t_idle最小值来计算最大电感值（L_MAX）。 L_MAX必须低于V_IN范围内的最低L_CRIT。对于给定的V_IN，电感值等于L_CRIT（t_idle= 0）时引发CrCM。

图5 – L_CRIT 与标准化V_IN 的变化

 为计算所选最小空闲时间（t_idle(min)）的L_MAX，首先使用DCM伏秒平衡方程求出t_ON(max)（所允许的MOSFET导通时间最大值）与V_IN的函数，其中t_dis为电感放电时间。

   (17)，其中   (18)

 可得出

   (19).

  平均（直流）电感电流等于转换器直流输入电流，通过重新排列（17），可得出t_dis相对于t_ON的函数。简单起见，我们将再次假设P_IN = P_OUT。

   (20) ，其中  (21).

 将方程(3)、(5)、(10)、(19)和(21)代入(20)，求得V_IN(DCM)下的L

   (22).

 L_MAX遵循类似于L_CRIT 的曲线，且同在V_IN = ⅔V_OUT时达到峰值。为确保最小t_idle，要计算与此工作点相反的实际工作输入电压（V_IN(DCM)）下的最低L_MAX值。根据应用的实际输入电压范围，V_IN(DCM)将等于最小或最大工作V_IN。若整体输入电压范围高于或低于⅔ V_OUT（含⅔ V_OUT），则V_IN(DCM)是距⅔ V_OUT最远的输入电压。若输入电压范围覆盖到了⅔ V_OUT，则在最小和最大V_IN处计算电感，并选择较低（最差情况下）的电感值。或者，以图表方式对V_IN进行评估，以确定最差情况。

 输入电压模式边界

当升压转换器的输出电流小于I_CRIT与V_IN的最大值时，如果输入电压增加到高于上限模式边界或下降到低于下限模式边界，即I_OUT大于I_CRIT时，则将引发CCM工作。而DCM工作则发生于两个V_IN的模式边界之间，即I_OUT小于I_CRIT时。要想以图表方式呈现V_IN下的这些导通模式边界，在相同图表中绘制临界负载（使用所选电感器）与输入电压和相关输出电流的变化曲线。然后在X轴上找到与两条曲线相交的两个V_IN值（图6）。

图6 – 输入电压模式边界

 要想以代数方式呈现V_IN的模式边界，首先将临界负载的表达式设置为等于相关输出电流，以查找交点：

   (23).

 这可以重写为一个三次方程，K_CM可通过常数计算得出

   (24)     其中  (25).

 这里，三次方程通式x3 + ax2 + bx + c = 0的三个解可通过三次方程的三角函数解法得出[1] [2]。在此情况下，x¹项的“b”系数为零。我们将解定义为矢量V_MB。

 我们知道

   (26)、      (27)、   以及  (28),

    (29).

 由于升压转换器的物理限制，任何V_MB ≤ 0或V_MB > V_OUT的解均可忽略。两个正解均为模式边界处V_IN的有效值。

 模式边界 – 设计示例

 我们假设一个具有以下规格的DCM升压转换器：

 V_OUT  = 12 V

I_OUT  = 1 A

L  =      6 μH

F_SW  =  100 kHz

 首先，通过（25）和（28）计算得出K_CM和θ：

.

 将V_OUT和计算所得的θ值代入（29），得出模式边界处的V_IN值：

       .

 忽略伪解（-3.36 V），我们在4.95 V和10.40 V得到两个输入电压模式边界。这些计算值与图7所示的交点相符。

图7 – 计算得出的模式边界

 采用WebDesigner™ Boost Powertrain加速设计

 对于不同的升压电感值，手动重复进行这些设计计算可能会令人厌烦且耗费时间。复杂的三次方程也使输入电压模式边界的计算相当繁琐且容易出错。通过使用安森美半导体的WebDesigner™等在线设计工具，就能更轻松并显著地加速设计工作。 Boost Powertrain设计模块（图8）会自动执行所有这些计算（包括实际能效的影响），并根据您的应用要求推荐最佳电感值。您可以从广泛的内置数据库中选择真正的电感器部件值，或者输入您自己的定制电感器规格，立即就能计算得出纹波电流和模式边界、及其对输出电容、MOSFET、二极管损耗、以及整体能效的影响。

图8 - WebDesigner™ Boost Powertrain

 可点击此处获取WebDesigner Boost Powertrain设计工具。

 结论

 电感值会影响升压转换器的诸多方面，若选择不当，可能会导致成本过高、尺寸过大、或性能不佳。通过了解电感值、纹波电流、占空比和导通模式之间的关系，设计人员就能够确保输入电压范围内的所需性能。

 参考文献